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マクスウェルの方程式(マクスウェルのほうていしき、Maxwell's equations)は、電磁場のふるまいを記述する古典電磁気学の基礎方程式。マイケル・ファラデーが幾何学的考察から見出した電磁力に関する法則から1864年にジェームズ・クラーク・マクスウェルが数学的形式として整理し導いた。マクスウェル-ヘルツの電磁方程式、電磁方程式などとも呼ばれ、マクスウェルはマックスウェルとも表記される。

なお、電磁気学の単位系は、国際単位系に発展したMKSA単位系のほか、ガウス単位系などがあるが、

以下では原則として、国際単位系を用いることとする。

◆ 定義

電場の強度 E(t,x)、磁束密度 B(t,x) とするとき、

・$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol=\; 0$

・

・$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol=$

・

の4つの式からなる方程式系を(微分形式による)マクスウェルの方程式と言う。ここで D は電束密度、H は磁場の強度であって、それぞれ E , B と

: $\backslash boldsymbol=\; \backslash varepsilon\backslash boldsymbol$

: $\backslash boldsymbol=\; \backslash mu\backslash boldsymbol$

の関係にある。ただしここで $\backslash epsilon$ はその媒質の誘電率、$\backslash mu$ は透磁率であって、真空中ではそれぞれ真空の誘電率$\backslash epsilon\_0$ および 透磁率 $\backslash mu\_0$ となる。また $\backslash rho$ は電荷密度、j は電流密度を表し、その間には電気量保存則(連続の方程式)

: $\backslash frac+\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol=\; 0$

が成り立つことが導かれる。

◆ 歴史的経緯と解釈

前述のマクスウェルの方程式は、次の二つの組に分類されることが多い。

第一の組は、

・$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol=\; 0$ : (1a)

・ : (1b)

で、電磁場の拘束条件を与える式である。

第二の組は、

・$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol=\; \backslash rho$ : (2a)

・ : (2b)

で、電荷・電流が電磁場の源となっていることを表す式である。

それぞれの解釈は次の通り

(1a) : 磁束保存の式 … 磁場には源がない。

(1b) : ファラデー-マクスウェルの式 … 磁場の時間変化があるところには電場が生じる(電磁誘導)。

(2a) : ガウス-マクスウェルの式 … 電場の源は電荷である。

(2b) : アンペール-マクスウェル … 電場の時間変化(変位電流という)と電流とで磁場が生じている。

なお、それぞれの記号の意味は次の通り。

| 発散。ダイバージェンス。div とも表記する。

|-

|  $\backslash mathbf$

| 回転。ローテーション。rot または curl とも表記する。

| -->

第一の組はマクスウェル自身の原著論文『電磁場の動力学的理論』(1865年)や原著教科書『電気磁気論』(1873年)では、

・ $\backslash boldsymbol=$

-\nabla\phi-\frac --> : (0a)

・ $\backslash boldsymbol=$

\nabla\times\boldsymbol : (0b)

であったが、1890年になってヘルツが改めて理論構成を考察し、上記二式から電磁ポテンシャル $\backslash phi$ , A を消去した (1a) , (1b) を基本方程式とすることを要請した。

このヘルツによる電磁ポテンシャルの消去後のものを、マクスウェルの方程式とみなすのが、現在の主流となっている。

そのため、(0a)と(0b)は、以後電磁場の定義式とみなされるようになった。

これらの方程式系に整理されたことから、電場と磁場の統一(電磁場)、光が電磁波であることなどが導かれ、その時空論としての特殊相対性理論にいたる。

後年、アインシュタインは特殊相対性理論の起源はマクスウェルの電磁場方程式である旨、明言している。

なお、マクスウェルが導出した方程式は、現代の洗練された形式ではなかった。すなわちそこではベクトルの各成分をあたかも互いに独立な量であるかのように別々の文字で表わし、式はすべて各成分について書いていた。これにベクトル解析の記法を適用して現在の見やすい形に書き改めたのはヘヴィサイドで、1884年のことであった。しかも彼はすでにそこで電磁ポテンシャルが消去出来ることを示して、方程式系を今日我々が知る形に整理していた。しかし、その意義はただちには認められるにいたらず、それとは独立に上記の ヘルツ の仕事がなされた。そしてベクトル記法が一般化し始めるのは 1890年代半ばであって、ヘルツ の上記論文ではまだそれを使っていない。いずれにせよ、このベクトル解析の記法の採用は場におけるさまざまな対称性を一目で見ることを可能にし、物理現象の理解に大いに役立った。(広重徹『物理学史?』培風館、1968年、10-6~8参照)

◆マクスウェルの方程式と特殊相対性理論

19世紀後半を通じて物理学者の大半は、マクスウェルの方程式において光速度がすべての観測者に対して不変であるという奇妙な予測のために、またそれがニュートン力学の運動法則と矛盾したために、これらの方程式が電磁場への近似的なものに過ぎないと考えた。しかし、1905年にアインシュタインが特殊相対性理論を提出したことによって、マクスウェルの方程式が正確で、ニュートン力学の方を修正すべきだったことが明確になった。これら電磁場の方程式は、特殊相対性理論と密接な関係にある。磁場の方程式は、光速度に比べて小さい速度では、相対論的変換による電場の方程式の変形に結び付けられる。

マクスウェル方程式は相対論的表示では次のようにローレンツ変換に対して共変な2つの方程式にまとめられる。

:$$

F_=\frac - \frac

(0a,0bに対応)

:$$

\frac --> + \frac --> + \frac --> = 0

(1a,1bに対応)

:$$

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